APC 2023

2023 아주대학교 프로그래밍 경시대회(이하 APC)에 휴학생의 신분으로 참여하였다. APC는 경인지역 6개대학 연합 프로그래밍 경시대회(이하 shake!) 의 아주대학교 대표 선발전을 겸한다. 2020년부터 문제풀이를 시작했었는데, 코로나등등의 사유로 인해 이번 APC로 오프라인 대회를 처음으로 경험하게 되었다. 해결했던 문제들에 대한 해설과 개인적인 감상을 기록해두고 싶어 오랜만에 포스트를 작성한다.

A. 2023 아주머학교 프로그래딩 정시머힌

00:19, 1 제출

문제에서 주어진대로 수정본을 다시 원본으로 변경하면 된다. 다만, \' 에서 v, \\' 에서 w 로의 변환은 다른 케이스와는 다르게 복수개의 문자가 단일 문자로 치환되어야 하는 케이스이므로 예외처리가 필요하다. 또한 사용하는 언어에 따라서 일부 문자는 escape 가 필요함을 염두에 두어야한다. 내가 사용했던 C++의 경우에는 백슬래쉬(\)와 작은따옴표(') 문자를 표현하기 위해 escape를 하는 과정이 필요했다.

• ICPC와 마찬가지로 대회중 언어별 접속 가능한 언어 레퍼런스 페이지를 참고 할 수 있어 cppreference.com - Escape sequence 문서를 참조하여 문제를 해결하였다.

B. Space-A

00:29, 1 제출 (first solve)

핵심 아이디어는 수행하는 명령의 종류와 횟수만 일치한다면 도착지점은 같다는 것과, 가능하다면 X 명령을 수행할 수 있는 만큼 그리디하게 수행하는 것이 좋다는 것이다.

탐사하고 싶은 지점 $(x_i, y_i)$ 마다 X 명령을 가능한 수행할 수 있을 만큼 ($min(x_i, y_i, |X|)$, 여기서 $|X|$ 는 X 명령을 사용할 수 있는 횟수) 먼저 수행한다. 그 다음은 $(x_i, y_i)$ 까지 남은 X 방향의 거리, Y 방향의 거리와, 사용할 수 있는 최대 R, U 명령의 횟수의 대소비교를 통해 $(x_i, y_i)$ 지점에 도착할 수 있는지 고려하면 된다.

• 개인적으로 코드포스 div 2 첫번째 문제로 아주 적절하다고 생각했다.

C. 숫자탑과 쿼리

00:48, 2 제출 (first solve)

탑의 $n$ 층은 $a+(n-1)*d$ 개의 블록으로 이루어져 있고, 따라서 $1$ 층에서 $n$ 층의 탑은 총 $\sum_{i=1}^n (a+(i-1)*d)$ 개의 블록으로 이루어져있다고 할 수 있다. 이는 $\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$ 임을 이용하면 $O(1)$ 에 계산할 수 있다. 위 사실을 이용하여 $x$ 번째 블록이 탑의 몇번째 층에 위치하고 있는지를 이분탐색을 이용하여 찾아내고, 몇번째 층인지를 구한다면 해당 층에서 몇번째에 위치하고 있는지는 단순 식 대입을 통해 얻어낼 수 있다. 시간복잡도는 $O(Qlog(d^2))$.

• 이 문제를 이분탐색을 사용하지 않고 일반항을 계산하여 $O(Q)$ 에 해결한 참가자도 있다고 했다.

D. 현대모비스 특별상의 주인공은?

01:45, 11 제출

주어진 격자판에서 $1 \times 2$ (또는 그 반대)보다는 큰 영역을 선택했을 때 해당 영역에서 절반을 초과하는 칸에 같은 이름이 있다면 해당 이름에 해당하는 사람은 선물을 받을 수 있다. 입력받은 2차원 문자열 배열을 그대로 사용하지 않고 몇번째 이름인지 순서를 C++ 의 map 등을 사용하여 알아내어 숫자로 저장해두면 이름이 같은지를 비교하는 과정이 단순 숫자비교로 축소된다!

다만 naive 하게 가능한 모든 영역에 대해 해당 영역에서 누가 상을 받을 수 있는지 계산하는 것은 가능한 영역 선택 가짓수 $O(NM)$, 한 영역에서 어떤 사람이 수상자인지 고르는데 $O(NM)$ 이므로 $O(N^2M^2)$ 이기 때문에, 시간초과를 받을 것이다.

중요한 핵심 아이디어는, 영역 선택의 가짓수를 줄여보는 것이다. 만약 어떤 $x \times y$ 크기의 영역에서 수상할 수 있는 사람이 있다면, 더 작은 영역을 선택해도 같은 사람이 수상할 수 있지 않을까? 두 가지 경우로 나누어 생각해볼 수 있다:

1. $xy \equiv 0 (mod 2)$ 최악이라고 볼 수 있는 경우는 (여기서 최악의 경우라 함은 수상자가 최대한 균일하게 떨어져 있는 경우) 수상자의의 이름이 해당 영역에서 체스판의 검정색처럼 배치되어 있는데 ($xy$ 가 2의 배수인 경우이므로 검정색칸과 흰색칸의 갯수가 같은 판), 수상을 하려면 절반을 초과하는 칸에 같은 이름이 쓰여있어야 하므로 원래 체스판에서 흰색으로 되어 있어야할 단 한칸에 검정색이 하나 더 배치되어있는 경우이다. 이 경우에도 인접한 두 칸에 수상자의 이름 등장한다는 것은 쉽게 보일 수 있고, $1 \times 2$ (또는 그 반대)에 같은 사람 이름이 등장하는지만 체크하는 경우로 문제가 축소된다.
2. $xy \equiv 1 (mod 2)$ 마찬가지로 역시 최악이라고 볼 수 있는 경우를 체스판의 모양에서 찾아보자. $xy$ 가 2의 배수가 아니기 때문에, 검정칸이 하나 더 많은 체스판을 생각해보자. 모든 검정칸에 수상자의 이름이 쓰여있다면 이미 (앞선 케이스처럼 흰칸 하나를 검은칸으로 변경하지 않고) 절반을 초과해야 수상할 수 있다는 조건을 만족하게된다. 체스판을 유심히 살펴보면 수상자의 이름은 인접해있거나 못해도 같은 방향으로 2칸 떨어진 곳에는 위치한다는 것을 알 수 있다. 이번 케이스에서는 $1 \times 3$ (또는 그 반대) 의 격자안에 같은 사람의 이름이 최소 두번 등장하는지만 체크하는 경우로 문제가 축소된다. 이 케이스가 $1 \times 2$ 로 커버되지 않음은 단순히 체스판의 모양만 살펴보아도 확인할 수 있다.

따라서 전체 시간복잡도는 $O(NMlogS)$

• (10번의 잘못된 코드 제출에도 불구하고) 이 대회에서 해결했던 가장 흥미로웠던 문제가 아닌가 생각된다. 체스판 무늬로 최악의 경우를 생각하다보면 최상의 풀이를 얻을 수 있다!
• 어떻게 하면 ad hoc 에 잘해질 수 있을까...

E. 2022 APC가 어려웠다고요?

02:11, 1 제출 (first solve)

첫번째부터 $N$ 번째 문제까지 순차적으로 난이도를 책정할 때, $dp_{i,j}$ 를 $i$ 번째 문제의 난이도가 $j$ 인 경우의 수를 나타내는 DP 문제로 풀 수 있다. 아래는 점화식이다.

naive 하게 구현한다면 위 점화식을 계산하는데 $O(K)$, 전체 DP 테이블을 계산하는데 $O(NMK)$ ($M$은 최대 난이도, $M=3,000$) 의 시간이 소요되어 주어진 시간을 초과할 수 있는데, prefix sum 을 이용한다면 한단계 더 최적화할 수 있다.

prefix sum 을 사용한 DP 테이블은 다음과 같이 정의된다:

$dpsum_{i,j} = \sum_{k=0}^{j}dp_{i,k}$

따라서 매 $i$ 마다 $dpsum_{i,x}$ 를 전처리 해놓는다면 위의 점화식을 아래와 같이 다시 쓸 수 있다:

따라서 $dp_{i,j}$ 를 계산하는데 이제는 $O(1)$ 의 시간만을 사용하고, 전체 답을 구하는데는 $O(NM)$ 만을 사용하기 때문에 주어진 시간에 답을 찾을 수 있다.

• AtCoder 나 USACO 와 같은 contest 에 꽤나 자주 출제되는 유형의 문제이다.

F. 슈넬치킨 랑데부

02:46, 1 제출 (first solve)

우선 랑데부를 할 수 없는 경우를 먼저 생각해보자

1. 상혁과 선우가 체스판의 서로 다른 색 위에 서있을 때 상혁과 선우는 매번 같은시점에 1만큼만 움직여야만 하기 때문이다. 체스판위에서 상하좌우로 행마한다면 밟고있는 칸의 색이 무조건 바뀌는데, 상혁과 선우가 밟고있는 초기 위치의 색이 다르다면 이론적으로 랑데부가 불가능함을 쉽게 상상할 수 있다. (체스에서 추크츠방(Zugzwang) 같은 상황이라고 말할 수 있겠다.)
2. 상혁이 간부에 둘러쌓여 연병장 가장자리로 접근할 수 없을 때

위 두가지 경우를 제외하면 무조건 랑데부 가능함을 알 수 있다. 이 것을 보이는 것은 간단한데, 상혁은 연병장 가장자리로 도착한 후, 선우가 돌고있는 반대 방향으로 계속 한칸씩 진행하면 언젠가 선우와 랑데부할 수 있다. 서로 지나치는 케이스는 고려하지 않아도 되는데, 해당 경우는 위의 랑데부를 할 수 없는 1번 조건에서 걸러졌기 때문이다. 그럼 이제 최소 랑데부 시간을 계산하면 된다.

BFS 를 사용하면 상혁이가 진행가능한 모든 칸에 대하여 상혁이가 해당 칸에 도착하는데 걸리는 최단시간(=상혁의 초기위치에서의 최단거리)를 계산할 수 있다. 연병장 가장자리의 모든 칸에 대하여 선우가 언제 해당 칸에 도착하는지 계산하고 ($2*(M+N)-4$을 주기로 선우는 연병장을 반복해서 돈다...) 상혁이는 해당 칸에 "기다리는" 방식으로 랑데부 최단시간을 계산할 수 있다. 여기서 "기다린다"라는 것은 (문제 제한에 의하여 실제로 기다릴수는 없으니) 해당 칸과 해당칸에서 진행가능한 인접칸을 계속 반복하며 이동하는 것을 의미한다.

시간복잡도는 $O(NM)$ 이다.

• 공식 해설의 trivia 도 문제 지문 만큼이나 유머러스하다.

G. K-지폐

03:13, 1 제출 (first solve)

하나의 도시를 하나의 정점으로 생각하지 말고, 현재 가지고 있는 거스름돈을 $K$ 로 나눈 나머지 별로 정점이 있다고 생각하자. $i$ 번째 도시를 방문했고 그 결과 현재 가지고 있는 거스름돈의 $mod K$ 가 $j$ 라면 정점 $v_{i,j}$ 라고 생각할 수 있는 것이다. 정점 갯수는 $NK$ 개이고, 다익스트라 알고리즘을 사용하면 $O((NK+M)log(NK))$ 에 시작정점 $v_{S,0}$ 에서 모든정점으로의 최단거리를 구할 수 있다. 정답은 시작정점에서 목적지인 $T$ 번째 도시에 도착함과 동시에 거스름돈이 $K$ 의 배수가 되는 $v_{T,0}$ 정점까지의 최단거리가 된다.

H. 기벡을 안배운다고?

03:36, 2 제출 (first solve)

$i$ 번째 벡터 $(u,v)$를 입력받았을 때 $i-1$ 번째 까지 입력받았던 모든 벡터에 대한 정보를 저장하고 있는 자료구조 (C++ 의 map) 을 사용하여 $i$ 번째 백터와 수직인 벡터의 갯수를 구하고 정답에 더해나갈 것이다.

우선 ($u,v$ 가 둘다 0이 아니라면) $(u,v)$ 를 $(\frac{u}{g}, \frac{v}{g})$ 로 변환한다. 여기서 $g$ 는 $gcd(u,v)$ 이다. 변환 이후에도 벡터의 방향은 같기 때문에 수직을 이루는 벡터 쌍을 계산하는데 영향을 주지 않는다. 변환을 마친 벡터를 $(u^′,v^′)$ 이라고 하자. $u^′,v^′$ 은 서로소이므로 해당 벡터의 방향을 나타내는 유일한 표현이 된다.

이제 다음과 같은 케이스를 고려한다.

1. $u^′ \neq 0, v^′\neq 0$ 이 경우는 $(v^′, -u^′)$ 또는 $(-v^′, u^′)$ 벡터와 수직을 이룬다. 해당 케이스의 벡터의 갯수를 구해서 답에 더한다.
2. $u^′ \neq 0, v^′ = 0$ 이 경우는 모든 $x$ 에 대하여 $(0, x)$ 꼴의 벡터와 수직을 이룬다. 해당 케이스의 벡터의 갯수를 구해서 답에 더한다.
3. $u^′ = 0, v^′ \neq 0$ 위 2번 케이스와 대칭이므로 같은 방식으로 답을 더한다.
4. $u^′ = 0, v^′ = 0$ 영벡터는 다른 모든 벡터와 수직이다. 따라서 $i$ 번째 벡터를 입력받았을 때 기존에 저장하고 있는 벡터들과 모두 수직을 이루므로 답에 $i-1$ 을 더하면 된다.

$i$ 번째 벡터와 수직을 이루는 벡터의 갯수들을 모두 구했다면 $i$ 번째 벡터에 대한 정보도 map 과 같은 자료구조에 저장한다 (해당 방향의 벡터의 갯수가 1 추가되었음을 기록한다).

C++ map 과 같은 적절한 자료구조를 사용하면 $(x,y)$ 꼴의 벡터가 몇개인지 구하는데 $O(logN)$ 만의 시간을 사용하기 때문에 수직인 벡터쌍의 경우의 수를 구하는데 시간복잡도 $O(NlogN)$ 에 계산할 수 있다.

• 필자는 2009 개정 교육과정을 밟았기 때문에 기하와 벡터 수업을 수강했지만 머릿속에 남은 것은 단 하나도 없다. (자랑아님)

I. 개미억장와르르맨션

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J. 너의 집에 가까워졌어 너의 이름을 크게 불러봐도 너는 너무 멀어

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총평

사실 2020, 2021년도의 APC 에 참여하여 매우 실망스러운 성적을 거두었던 경험이 있어서, 이번에도 그러지 않을까라는 생각이 앞섰는데... 요상하게(?) 어짜피 안될거야라는 마음으로 편안하게 문제를 푼 덕분에 1등을 할 수 있었다.

좋은 경쟁환경을 위해 고생하신 출제/운영진들, 특히 통크게 아이패드 에어 후원해주신 후원사 dSPACE 사에게 감사드린다. 이제 애초에 PS판에 뛰어들때의 첫 목표인 코포 퍼플만 달성할 수 있다면 정말 미련없을 것 같다.

• div 2 에서만 출제되었던 문제는 해결후에 업데이트 예정 (꼭 풀어보겠습니다...)