오일러 피 함수

December 26, 2021

본 포스트는 e-maxx.ru/algo 의 영문 번역본인 cp-algorithms (e-maxx-eng) 를 한국어로 번역한 것입니다. e-maxx 포스트의 저자는 иванов максим 이며, cp-algorithms 포스트의 기여자는 여기서 확인하실 수 있습니다. 본 포스트는 CC-BY-SA-4.0 License를 따릅니다.

오일러 피 함수

오일러 피 함수 (Euler’s phi (totient) function)) $\phi(n)$ 는 1부터 $n$ 까지의 정수 중 $n$ 과 서로소인 것의 개수를 세는 함수이다. 두 수의 최대공약수가 1일 때, 두 수는 서로소이다(1은 모든 수와 서로소인 것으로 간주된다).

처음 몇 개의 자연수에 대해 $\phi(n)$ 의 값은 다음과 같다:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20 & 21 \\ \hline \phi(n) & 1 & 1 & 2 & 2 & 4 & 2 & 6 & 4 & 6 & 4 & 10 & 4 & 12 & 6 & 8 & 8 & 16 & 6 & 18 & 8 & 12 \\ \hline \end{array}

성질

오일러 피 함수의 다음 성질들을 이용하여 모든 수에 대해 오일러 피 함수를 계산할 수 있다.

$p$ 가 소수일 때, 모든 $1 \le q < p$ 에 대해 $\gcd(p, q) = 1$ 이다. 따라서 다음 등식을 얻는다: $\phi (p) = p - 1.$
$p$ 가 소수이고 $k \ge 1$ 일 때, $1$ 부터 $p^k$ 까지의 수 중 정확히 $p^k / p$ 개가 $p$ 로 나누어 떨어진다. 따라서 다음 등식을 얻는다: $\phi(p^k) = p^k - p^{k-1}.$

$a$, $b$가 서로소일 때, 다음 등식을 얻는다: $$\phi(a b) = \phi(a) \cdot \phi(b).$$ 이 관계는 자명해 보이지 않는다. 이 결과는 중국인 나머지 정리로부터 알 수 있는데, 중국인 나머지 정리에 의해 각 $0 \le x < a$, $0 \le y < b$에 대해 $z \equiv x \pmod{a}$, $z \equiv y \pmod{b}$를 만족하는 유일한 $0 \le z < a b$가 존재한다. $z$가 $a b$과 서로소임은 $x$가 $a$와 서로소이고 $y$가 $b$와 서로소임과 동치이다. 따라서 $a b$와 서로소인 정수의 개수는 $\varphi(a)$, $\varphi(b)$의 곱과 같다.
서로소가 아닌 두 수 $a$, $b$에 대해서, 등식 $$\phi(ab) = \phi(a) \cdot \phi(b) \cdot \dfrac{d}{\phi(d)}$$ 이 성립한다. 이때, $d = \gcd(a, b)$이다.

처음 세 성질과 $n$ 의 소인수분해를 이용하여 $\phi(n)$ 를 계산할 수 있다. $n = {p_1}^{a_1} \cdot {p_2}^{a_2} \cdots {p_k}^{a_k}$ , $p_i$ 는 각각 소수일 때, 다음 등식이 성립한다.

\begin{align*} \phi (n) &= \phi ({p_1}^{a_1}) \cdot \phi ({p_2}^{a_2}) \cdots \phi ({p_k}^{a_k}) \\ &= \left({p_1}^{a_1} - {p_1}^{a_1 - 1}\right) \cdot \left({p_2}^{a_2} - {p_2}^{a_2 - 1}\right) \cdots \left({p_k}^{a_k} - {p_k}^{a_k - 1}\right) \\ &= p_1^{a_1} \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \cdot p_2^{a_2} \cdot \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots p_k^{a_k} \cdot \left(1 - \frac{1}{p_k}\right) \\ &= n \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \cdots \left(1 - \frac{1}{p_k}\right) \end{align*}

구현

$O(\sqrt{n})$ 계산 복잡도의 소인수분해를 사용한 구현:

int phi(int n) {
    int result = n;
    for (int i = 2; i * i <= n; i++) {
        if (n % i == 0) {
            while (n % i == 0)
                n /= i;
            result -= result / i;
        }
    }
    if (n > 1)
        result -= result / n;
    return result;
}

$1$ 부터 $n$ 까지 오일러 피 함수 구하기: $O(n \log log{n})$ 계산 복잡도

만약 $1$ 부터 $n$ 까지의 모든 수에 대해 오일러 피 함수값이 필요하다면, 각각의 수 $n$ 개를 모두 소인수분해하는 것은 효율적이지 않다. 에라토스테네스의 체에서 썼던 아이디어를 적용할 수 있다. 위에서 보인 성질을 사용할 것이지만, 각각의 수에 대해 각 소인수마다 중간 결과를 갱신하는 대신, 우선 모든 소수를 찾은 후 각 소수에 대해 그로 나누어 떨어지는 모든 수에 대해 중간 결과를 갱신하는 방법을 사용한다.

이러한 접근은 근본적으로 에라토스테네스의 체와 같기 때문에, 계산 복잡도 또한 $O(n \log \log n)$ 으로 같다.

void phi_1_to_n(int n) {
    vector<int> phi(n + 1);
    phi[0] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        phi[i] = i;

    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        if (phi[i] == i) {
            for (int j = i; j <= n; j += i)
                phi[j] -= phi[j] / i;
        }
    }
}

약수 합 성질

이 흥미로운 성질은 가우스에 의해 확립되었다:

$\sum\_{d|n} \phi{(d)} = n$

합은 $n$ 의 모든 약수 $d$ 에 대해 더한 것이다.

예를 들어, 10의 약수는 1, 2, 5, 10이다. $\phi(1) + \phi(2) + \phi(5) + \phi(10) = 1 + 1 + 4 + 4 = 10$ 이 성립한다.

약수 합 성질을 이용하여 1부터 $n$ 까지 오일러 피 함수값을 계산하기

약수 합 성질은 1부터 $n$ 까지의 모든 오일러 피 함수값을 계산하는데 사용될 수 있다. 이 구현은 에라토스테네스의 체를 이용한 이전 구현보다 약간 더 간단하지만, 약간 더 나쁜 계산 복잡도인 $O(n \log n)$ 을 갖는다.

void phi_1_to_n(int n) {
    vector<int> phi(n + 1);
    phi[0] = 0;
    phi[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)
        phi[i] = i - 1;

    for (int i = 2; i <= n; i++)
        for (int j = 2 * i; j <= n; j += i)
              phi[j] -= phi[i];
}

오일러 정리에서의 응용

오일러 피 함수의 가장 유명하고 중요한 성질은 오일러 정리에서 나타난다. $a$ 와 $m$ 이 서로소일때, 다음 등식이 성립한다. $a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod m$

$m$ 이 소수인 경우, 오일러 정리는 페르마의 소정리가 된다: $a^{m - 1} \equiv 1 \pmod m$

오일러 정리와 오일러 피 함수는 잉여 역수를 계산하는 데 활용되는 등 실전에서 자주 등장한다.

직접적인 결과로써 다음 합동식이 성립한다: $a^n \equiv a^{n \bmod \phi(m)} \pmod m$ 이 합동식을 통해 아주 큰 $n$ 에 대해 $x^n \bmod m$ 을 계산할 수 있다. 특히 $n$ 이 다른 계산의 결과인 경우, $n$ 을 법 $\phi(m)$ 에 대해 계산하여도 된다.

일반화

서로소가 아닌 $x$ , $m$ 에 대해 $x^n \bmod m$ 을 효율적으로 계산하는 마지막 합동식의 잘 알려지지 않은 변형이 있다. 임의의 $x, m$ 와 $n \geq \log_2 m$ 에 대해 다음 합동식이 성립한다. $x^{n}\equiv x^{\phi(m)+[n \bmod \phi(m)]} \mod m$

증명:

$p_1, \dots, p_t$ 를 $x$ 와 $m$ 공통 소인수라고 하고, $k_i$ 를 $p_i$ 가 $m$ 을 나누는 횟수라고 하자. $a = p_1^{k_1} \dots p_t^{k_t}$ 으로 정의하면 $\frac{m}{a}$ 와 $x$ 는 서로소이다. $a$ 가 $x^k$ 를 나누도록 하는 정수 중 가장 작은 것을 $k$ 라고 하자. $n \ge k$ 를 가정하면 다음과 같이 쓸 수 있다:

\begin{align*}x^n \bmod m &= \frac{x^k}{a}ax^{n-k}\bmod m \\ &= \frac{x^k}{a}\left(ax^{n-k}\bmod m\right) \bmod m \\ &= \frac{x^k}{a}\left(ax^{n-k}\bmod a \frac{m}{a}\right) \bmod m \\ &=\frac{x^k}{a} a \left(x^{n-k} \bmod \frac{m}{a}\right)\bmod m \\ &= x^k\left(x^{n-k} \bmod \frac{m}{a}\right)\bmod m \end{align*}

세번째 줄과 네번째 줄 사이의 합동은 $ab \bmod ac = a(b \bmod c)$ 이므로 성립한다. $b = cd + r$ , $r < c$ 일 때, $ab = acd + ar$ , $ar < ac$ 임을 관찰하자.

$x$ 와 $\frac{m}{a}$ 는 서로소이므로, 오일러 정리를 사용하여 다음 공식을 얻는다. $x^n \bmod m = x^k\left(x^{n-k \bmod \phi(\frac{m}{a})} \bmod \frac{m}{a}\right)\bmod m.$ $k$ 가 아주 작으므로 (사실 $k \le \log_2 m$ 이다) 이는 효율적으로 계산할 수 있다.

이 공식은 적용하기 어렵지만, $x^n \bmod m$ 의 행동을 분석하기 위해 사용할 수 있다. 거듭제곱으로 이루어진 수열 $(x^1 \bmod m, x^2 \bmod m, x^3 \bmod m, \dots)$ 은 첫 $k$ 개의 항 이후 길이 $\phi\left(\frac{m}{a}\right)$ 인 순환에 진입한다. $a$ , $\frac{m}{a}$ 는 서로소이므로 $\phi(a) \cdot \phi\left(\frac{m}{a}\right) = \phi(m)$ 를 얻는다. 특히, $\phi(m)$ 은 $\phi\left(\frac{m}{a}\right)$ 으로 나누어 떨어진다. 따라서 이 순환이 길이 $\phi(m)$ 를 갖는다고 말할 수도 있다. $\phi(m) \ge \log_2 m \ge k$ 으로부터, 목표했던 더욱 간단한 공식을 얻는다: $x^n \equiv x^{\phi(m)} x^{(n - \phi(m)) \bmod \phi(m)} \bmod m \equiv x^{\phi(m)+[n \bmod \phi(m)]} \mod m.$

오일러 피 함수

성질

구현

111부터 nnn까지 오일러 피 함수 구하기: O(nlog⁡logn)O(n \log log{n})O(nloglogn) 계산 복잡도

약수 합 성질

약수 합 성질을 이용하여 1부터 nnn까지 오일러 피 함수값을 계산하기

오일러 정리에서의 응용

일반화

연습문제

$1$ 부터 $n$ 까지 오일러 피 함수 구하기: $O(n \log log{n})$ 계산 복잡도

약수 합 성질을 이용하여 1부터 $n$ 까지 오일러 피 함수값을 계산하기